定理概述

貝氏定理是機率中的一个结果，通常，事件A在事件B（發生）的條件下的概率，所以貝氏定理事實上是條件機率的一種應用，定理內容主要有兩個主軸，其一目的，每件事情的發生，可能有很多來源，而我們關心這件事情的發失是來自某個來源的機率有多少，這就是貝氏定理的目的。舉例來說，某間超商的產品提供者來自3間工廠甲、乙、丙，假設現在在超商購買到一件瑕疵品，我們反問這件瑕疵品來自家工廠的機率為何？像這種事情已發生，而我們反推事情發生的來源的可能性的問題，就是貝氏定理最主要的應用！其二方法，我們透過事情發生的順序性，可以做出簡單的分類(事情發生來源)，而這些分類形成一個分割，即貝氏分割，透過這樣的分割，可以協助我們計算機率。

定理應用

吸毒者检测

貝氏定理在检测吸毒者时很有用。假设一个常规的检测结果的敏感度与可靠度均为99%，也就是说，当被检者吸毒时，每次检测呈阳性（+）的概率为99%。而被检者不吸毒时，每次检测呈阴性（-）的概率为99%。从检测结果的概率来看，检测结果是比较准确的，但是贝叶斯定理卻可以揭示一个潜在的问题。假设某公司将对其全体雇员进行一次鸦片吸食情况的检测，已知0.5%的雇员吸毒。我们想知道，每位医学检测呈阳性的雇员吸毒的概率有多高？令“D”为雇员吸毒事件，“N”为雇员不吸毒事件，“+”为检测呈阳性事件。可得

• P(D)代表雇员吸毒的概率，不考虑其他情况，该值为0.005。因为公司的预先统计表明该公司的雇员中有0.5%的人吸食毒品，所以这个值就是D的先验概率。
• P(N)代表雇员不吸毒的概率，显然，该值为0.995，也就是1-P(D)。
• P(+|D)代表吸毒者阳性检出率，这是一个条件概率，由于阳性检测准确性是99%，因此该值为0.99。
• P(+|N)代表不吸毒者阳性检出率，也就是出错检测的概率，该值为0.01，因为对于不吸毒者，其检测为阴性的概率为99%，因此，其被误检测成阳性的概率为1-99%。
• P(+)代表不考虑其他因素的影响的阳性检出率。该值为0.0149或者1.49%。我们可以通过全概率公式计算得到：此概率 = 吸毒者阳性检出率（0.5% x 99% = 0.495%)+ 不吸毒者阳性检出率（99.5% x 1% = 0.995%)。P(+）=0.0149是检测呈阳性的先验概率。用数学公式描述为：

<math>\begin{align}P(+)=P(+,D)+P(+,N)=P(+|D)P(D)+P(+|N)P(N)\end{align}</math>

根据上述描述，我们可以计算某人检测呈阳性时确实吸毒的条件概率P(D|+)：

<math>\begin{align}P(D|+) & = \frac{P(+ | D) P(D)}{P(+)} \\

& = \frac{P(+ | D) P(D)}{P(+ | D) P(D) + P(+ | N) P(N)} \\& = \frac{0.99 \times 0.005}{0.99 \times 0.005 + 0.01 \times 0.995} \\& = 0.3322.\end{align}</math>

尽管我们的检测结果可靠性很高，但是只能得出如下结论：如果某人检测呈阳性，那么此人是吸毒的概率只有大约33%，也就是说此人不吸毒的可能性比较大。我们测试的条件（本例中指D，雇员吸毒）越难发生，發生误判的可能性越大。此例子參考至[[1]]