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::: 實數 - 教育百科

詞條名稱:實數


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實數(Real numbers)

目錄

實數介紹
所謂實數包含有理數與無理數,是個較大集合的概念,而所謂有理數與無理數將在以下分別介紹。

有理數

所謂有理數,英文為rational number,其定義為可用分數來表示的數,如2/3、3/5等等,因此可寫成m/n,而此時
的m與n皆為整數,因此可寫成分數的數,再換為小數點的寫法時,則意味著有限小數或者循環小數。所謂有限小數為其
並非無止境的小數點後的位數,而是計算至某一位數時則會停止,如3/5可表示成0.6,但1/3此類型小數則為
0.333333…..,一直無限下去。另一者為循環小數,其意思為會重複小數點後的數字來做循環,如上述中的1/3,小數為
0.3333333…..,則代表其循環數為3,或者小數為0.6565656565…….,則循環數為65,此類型則稱為循環小數。(註
2)

無理數

相對於有理數,無理數的定義則為不可用分數來表示,且其小數並非有限小數也並非循環小數,則歸類為無理數的範
疇。舉例而言,如3.101001000100001……,其小數並非為有限小數,且也並非具有一定規律在做循環,因此則稱此
類行為無限不循環小數,而屬於無理數。在數學中,常見的無理數有圓周率π,或者√2,此類型的數字,皆無法利用分數
來表示,或者不一用小數點來表示,因此在圓周率3.14159上,數學家才會發明一個π的代號來方便表示,而在根號的部
分,在數學的計算中,遇到根號時,通常會直接以根號來做答案的表達,並不會習慣寫成小數的方式,也是因為此為無限
不循環小數的原因。(註1)
稠密性
在無理數與有理數中,皆具有稠密性,因此在實數系中也是具有稠密性,而如果以數線來表達時,則可發現無理數與有
理數綜合在一起時,其分別代表的數字,將會佈滿整條數線。值得注意的是,無理數於數線表達上較為不易,例如√2,
將其化為小數時為1.41421,因此在數線上的大略位置為1.4與1.5之間,但卻無法精確標示出其位置所在,但透過數線
的表達,可讓學生充分了解到實數的範疇為何。(註1)
關鍵字
中文關鍵字:實數
英文關鍵字:Real numbers
參考資料
註1 John A. Van De Walle/著,張英傑、周菊美/合譯。中小學數學科教材教法,2005年初版,頁889~893。五南圖書出版股份有限公司。
註2李嘉淦/著。中學數學科教材教法,1986年初版,頁257~261。千華出版公司。

相關教學資源請參考數位教學資源入口網https://isp.moe.edu.tw/resources/search_content.jsp?rno=1441213