實數(Real numbers)

所謂實數包含有理數與無理數，是個較大集合的概念，而所謂有理數與無理數將在以下分別介紹。

有理數

所謂有理數，英文為rational number，其定義為可用分數來表示的數，如2/3、3/5等等，因此可寫成m/n，而此時

的m與n皆為整數，因此可寫成分數的數，再換為小數點的寫法時，則意味著有限小數或者循環小數。所謂有限小數為其

並非無止境的小數點後的位數，而是計算至某一位數時則會停止，如3/5可表示成0.6，但1/3此類型小數則為

0.333333…..，一直無限下去。另一者為循環小數，其意思為會重複小數點後的數字來做循環，如上述中的1/3，小數為

0.3333333…..，則代表其循環數為3，或者小數為0.6565656565…….，則循環數為65，此類型則稱為循環小數。(註

2)

無理數

相對於有理數，無理數的定義則為不可用分數來表示，且其小數並非有限小數也並非循環小數，則歸類為無理數的範

疇。舉例而言，如3.101001000100001……，其小數並非為有限小數，且也並非具有一定規律在做循環，因此則稱此

類行為無限不循環小數，而屬於無理數。在數學中，常見的無理數有圓周率π，或者√2，此類型的數字，皆無法利用分數

來表示，或者不一用小數點來表示，因此在圓周率3.14159上，數學家才會發明一個π的代號來方便表示，而在根號的部

分，在數學的計算中，遇到根號時，通常會直接以根號來做答案的表達，並不會習慣寫成小數的方式，也是因為此為無限

不循環小數的原因。(註1)

在無理數與有理數中，皆具有稠密性，因此在實數系中也是具有稠密性，而如果以數線來表達時，則可發現無理數與有

理數綜合在一起時，其分別代表的數字，將會佈滿整條數線。值得注意的是，無理數於數線表達上較為不易，例如√2，

將其化為小數時為1.41421，因此在數線上的大略位置為1.4與1.5之間，但卻無法精確標示出其位置所在，但透過數線

的表達，可讓學生充分了解到實數的範疇為何。(註1)

中文關鍵字：實數

英文關鍵字：Real numbers

註1 John A. Van De Walle/著，張英傑、周菊美/合譯。中小學數學科教材教法，2005年初版，頁889~893。五南圖書出版股份有限公司。

註2李嘉淦/著。中學數學科教材教法，1986年初版，頁257~261。千華出版公司。

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