十字交乘法(Cross-product method)

在教導十字交乘法之前，學生應先具備因數與倍數相乘之概念，且對於加減乘除之運算能有效掌握，避免其於十字交乘

法中粗心算錯。另外十字交乘法的教學時機通常在二次方程式中，需要解x的兩個相異解時，因此可介紹此種有效率的快

速解法，以供學生做練習。

認識係數

首先在可透過代號的方式，來探討各系數與因式之間的關係，舉例而言(X+A)(X+B)=X²+

(A+B)X+AB，從上述式子可了解到當X的解為-A與-B時，其因式可寫成(X+A)(X+B)，因此展開後則可寫成

X²+(A+B)X+AB，如此一來，如果要反向求得其解時，則可運用接下來介紹之十字交乘法。

反向求解

利用上述的係數關係X²+(A+B)X+AB，可看出一次項之係數為因式中的A與B相加，而常數項則為A與

B相乘，透過此式子，可發項特殊之現象，即為一次項為兩相異解之相加，而常數項則為兩相異解之相乘。因此而發展出

十字交乘法之運用，即將二次項的係數拆成兩數相乘放於左邊，將常數項之係數也拆成想數相乘放於右邊，因此左上方與

右下方之數字做相乘，而左下方與右上方之數字做相乘，而此兩者相乘之數字做相加後須等於一次項之係數，如相符時，

則代表求得其倆因式相乘。而上述的求解方式中之圖形類似於十字，因此則稱為十字交乘法。

舉例演練

舉例而言，當方程式為X²+6X-7時，左邊上下則分別擺放1與1，右邊則可擺放1與-7或者-1與7，但

因不知是何者為對，因此需皆作試算，假設試算1與-7時，當十字相乘時可得到1*1+1*(-7)，因此得到結果為-6，並不

符合一次項之係數6，因此推得此並非因式，進而演算另一種可能-1與7之組合，其十字交乘後為1*(-1)+1*7，此結果

為6，恰好符合一次項之係數6，因此即找到此方程式之因式分解為(X-1)(X+7)。

(註1)

中文關鍵字：十字交乘法

英文關鍵字：Cross-product method

註1李嘉淦/著。中學數學科教材教法，1986年初版，頁366~371。千華出版公司。

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