完全數(Perfect number)

首先畢達哥拉斯提出了許多數的名稱，包含偶數、奇數、質數、合成數，較特別的為虧數、完全數、過剩數，而此三者有相

對應的關係。首先虧數為所有因數加總後的和比實際的數還小，舉例而言，8的因數有1、2、4，而其總和為7，可看出8小於

7，因此稱8為虧數。另外過剩數為所有因數加總後的和比實際的數還大，舉例而言，12的因數包含1、2、3、4、6，其總和為

16，可看出16大於12，因此稱12為過剩數。因此完全數的部分即為其因數加總後洽為其實際數字，舉例而言6的因數為1、

2、3，因此稱6為完全數。(註1)

了解完全數後，可進一步探討聖數的定義，所謂聖數即為可進行完美的分解，因此給予其”聖”的名稱，且聖數可利用完全

數的方式來完美呈現，以下將舉例介紹完全數與聖數之關聯性。舉例而言，36可表示為6的平方，而在上述中提到6為完全數，

可表示成6=1*2*3=1+2+3，因此36則可表示成(1*2*3)的平方，或者可表示成(1+2+3)的平方，因此畢達哥拉斯認為此為

可完美的分解，因此進一步給予他聖數的名稱。(註1)

而在現代較常見的名稱為完全平方數，此完全的名稱則由上述定義中而來，可看出畢達哥拉斯在數學上的貢獻，有助於現今

對於平方概念的理解。實際上完全平方數類似於聖數的概念，意旨一個數字可以利用完美的分解方式，表示成另一個數的平

方。舉例而言，49可表示成7的平方，而此時49則可稱為完全平方數，但卻無法分解成聖數的樣貌，因7的因數只有1與自己本

身，因此7並不能稱為完全數，此即為學生易搞混之處，應給予適當的提醒。

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英文關鍵字：Perfect number

註1 仲田紀夫/著。小學生數學大疑問，2001年初版，頁122~123。國際村文庫書店有限公司。