擴展規律(Growing patterns)

所謂擴展規律為每一個圖形皆規律地加上固定的量以形成下一個圖形，因此即可引導出等差級數的規律概念，而在專業

的術語上我們稱為序列，即有排序性的一個數列。因此在擴展規律的教學上較為繁複，須先以圖形讓學生了解擴展的概

念，接著再導入代數，使得與函數可以相結合，因而可輕鬆解出每一項的圖形個數為何。(註1)

第一階段中應以圖形的方式，來引導學生進入擴展的概念，首先可提供三到五個的圖形，在此階段中並不免強學生能順

利說出第六個圖形個數，而是應讓學生試著畫出第六個圖形的樣貌為何，如可畫出圖形及代表學生發現其中隱含的規律，

如仍深感困惑，則老師應循序漸進教導每一個圖形時如何從前一個圖形轉變而來。舉例而言，第一個圖形為一個矩形，第

二個圖形為兩個矩形橫向擺放，第三個圖形為三個矩形橫向擺放，由此例子中，學生應可發現第四個圖形為四個矩形橫向

擺放，如學生無法理解，則老師可教導第二個圖形為第一個圖形再往右邊擺放一個矩形，而第三個圖形即為第二個圖形再

往右邊擺放一個矩形，因此第四個圖形應由第三個圖形再往右擺放一個矩形，如此即可獲得結果。透過畫出圖形的方式，

可讓學生確實了解擴展的概念，而並非只會利用代數來解題。

遞歸關係

完成上述圖形的規律後，即可引導學生寫下組成圖形的元素個數，如3個三角形等等，因此透過數字的呈現，可讓學生

更清楚看出擴展的規律性。因此當學生能輕鬆了解後一個圖形為前一個圖形添加某數後所形成的結果，則代表學生可在每

一個架構中算出正確的數字，如此有規律的增加，即可讓學生由已給的架構中，去推導出下一個架構，因此即稱為遞歸關

係。(註1)

函數關係

當學生了解遞歸關係後，可幫助其解出下一項、下下一項等等的答案，但當需要探討第1000項時，則無法先找出第

999項再推導出第1000項，如此的手續過於複雜，因此即應教導學生運用函數關係。所謂函數關係為，當代入第幾個架

構數字時，可運用一個式子來解答出此架構中的元素數字為何，舉例而言，當函數關係為f(X)=X+2時，則代表第一項為

1+2=3，第二項為2+2=4，因此依此類推，當想探討到第1000項時，則須將X代入1000，因此獲得此第1000個架構

中的元素為1002個。因此當有了函數關係後，對於任何架構的元素，學生即可輕鬆探討出來。

中文關鍵字：擴展規律

英文關鍵字：Growing patterns

註1 John A. Van De Walle/著，張英傑、周菊美/合譯。中小學數學科教材教法，2005年初版，頁803~808。五南圖書出版股份有限公司。

註2李嘉淦/著。中學數學科教材教法，1986年初版，頁476~481。千華出版公司。