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::: 正定性 - 教育百科
國家教育研究院辭書
基本資料
英文: positive difiniteness
作者: 張式魯
日期: 2002年12月
出處: 力學名詞辭典
辭書內容
名詞解釋:
  一個n實變數x1, x2,…xn的二次形式(quadratic form)
  
  可以用對稱方陣A寫為Q=xTAx, xT=(x1x2…xn);若對任意x≠0而言,均有Q>0,則二次形式Q與對稱矩陣A均稱為具有正定性。類此,一個n複變數x1, x2,…xn的赫密特形式(Hermitian form):
  
  恆可以赫米特矩陣H(HT=H)寫為S=xTHx;若對任意x≠0而言,均有S>0,則赫米特形式與H均稱為具有正定性。
  註:當有x≠0而能使Q≧0(或S=O),則二次形式Q(或赫米特形式S)稱為具有半正定性(positive semi-definitenees)。
  正定性的一個重要應用在於能夠經由變數轉換,使二次形式(或Hermitian形式)寫為新變數x'i的平方和;例如:
  
  上述方陣A(或H)具有正定性的充要條件是各特徵值均為正值。但判定其正定性,可以逕由特徵函數完成之:
  
  對稱方陣A(或赫米特方陣H)具有正定性,若且惟若β1,β2…βn均為正值。上述充要條件亦可改寫為:逐階前例對角子方陣的行列式均大於0。今以三階方陣:A=[aij]為例,其為正定性的充要條件為:
資料來源: 國家教育研究院_正定性
授權資訊: 資料採「 創用CC-姓名標示- 禁止改作 臺灣3.0版授權條款」釋出
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