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模態重疊法 - 教育百科
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| 法 |
國家教育研究院辭書
基本資料
| 英文： | mode superposition method |
| 作者： | 王寶璽 |
| 日期： | 2002年12月 |
| 出處： | 力學名詞辭典 |
辭書內容
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名詞解釋： 模態重疊法又稱為振態疊合法，為結構線性動態分析時常用的一種方法。此法是藉結構系統自身之自然振態(natural vibration mode)選定振態座標(modal coordinate)，來描述各振態單獨的動態反應(modal response)，再利用線性問題適用疊合原理（參見 principle of super position）的觀念，將各振態解（反應）疊加，求得結構之動態反應(dynamic response 或 time history)。由於分析時須用到結構自身之自然頻率(natural freguency)和振態，因此應用此法分析時，須先解結構自然振動方程式。所謂自然振動(natural vibration)就是在無外力作用下，結構自身之自由振動(free vibration)，其振動一般肇因於初位移(initial displacement)或初速度(initial velocity)。 有限元素法中，結構之線性自然振動方程式可寫為 上式中，Mαβ、Dαβ及Kαβ分別為系統質量、阻尼及勁度矩陣，qβ(t)為系統座標（位移），其上之點號 ""‧""表對時間之微分項。由於無外力作用，因此上式等號右邊為零。由於阻尼項的存在，求解上式之頻率與振態時，須以複變數(complex vanables)型式運算，分析異常繁難。再者，一般結構之阻尼係數均甚小，考慮阻尼效應所求得之含阻尼自然頻率與振態(damped frequency and mode)與無阻尼之自然頻率與振態相差不多。因此常以下式略去阻尼效應之自然振動方程式所求得之解作為原結構之自然頻率與振態： 由上式可知，無外力作用下之振動為一簡諧運動(simple harmonic motion)。因此其解可以自然對數 e 之時間函數表示如下： 上式中， 為一待定的常數行矩陣；λ為一待定之參數；i＝√－1將上式代入結構系統之自然振動方程式，可得： 因eiλt 不為零，故： 此式為一特徵值方程式(eigenvalue equation)，在振動學中又稱為頻率方程式(frequency equation)。若欲出現不為零之位移解， ，則唯有： 此處 det 表矩陣行列式值。因系統有 N 個自由度，Mαβ 及 Kαβ 為 N×N 階矩陣，故由上式可定出 N 個特徵值λ2j，j＝1,2,…N。上述特徵值方程式一般常用數值方法求解，例如賈可比法(Jocobi method)，次空間迭代法(subspace iteration method)等。透過迭代運算可同時求得前 m 個特徵值λ及其對應之特徵向量 。自由振動分析中，自然頻率ωj＝λj，其對應之振態 ，j＝1,2,…m≦N。一般習將頻率值ωj由小排到大，ω1＜ω2＜…＜ωj＜ωj+1…＜ωm。最小之自然頻率值ω1稱為結構之基本頻率(fundamental frequency)。 求得自然頻率ωj及振態фjβ後，結構系統之動態位移反應qβ(t)可藉前m 個振態座標ηj(t)及振態фjβ近似表示如下： 將上式代入結構系統在外力作用下之強迫振動(foreed vibration)方程式 經振態轉換運算，則可將上式原本篇偶合(coupled)之N元聯立常微分方程式，轉換成 m 個聯立但各自獨立非偶合(unconpled)振態方程式： 此處， 為對應第 j 個振態之振態質量(modal mass)； 為對應第 j 個振態之振態阻尼(modal damping)； 為對應第 j 個振態之振態勁度(modal stiffness)； 為對應第 j 個振態之振態荷重(modal load)；ξj＝Dj/2ωjMj 為第 j 個振態之振態阻尼比(modal damping ratio)；Qα(t)為廣義系統荷重(system load)。上式中下註標α、β在一項中重複出現時，須就該註標取和。 由於振態方程式非偶合，因此可將各振態方程式視為獨立的單自由度方程式，利用杜漢摩積分式(Dunamel integral)、快速傅立葉轉換法(fast Fouriesr transform method)或直接積分法(direct integration method)，求得各振態反應解ηj(t)。再將其疊加而得結構系統之動態反應解： 倘若系統阻尼矩陣 Dαβ 不具正交性(nonorthogonal damping matrix)，則振態方程式將出現偶合型式，此時只能利用直接積分法同步求得各振態解反應解ηj(t)後，再疊加而得系統動態反應解。 |
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| 資料來源： | 國家教育研究院_模態重疊法 |
| 授權資訊： | 資料採「 創用CC-姓名標示- 禁止改作 臺灣3.0版授權條款」釋出 |