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數學解題歷程的教學 - 教育百科
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國家教育研究院辭書
基本資料
| 作者： | 邱上真 |
| 日期： | 2000年12月 |
| 出處： | 教育大辭書 |
辭書內容
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名詞解釋： 數學解題歷程的教學主要適用於數學文字題（俗稱應用題）。主要代表人物為波力耳(G. Polya)、舒恩費(Alan H. Schoenfeld)及梅伊爾(Richard E. Mayer)。 波力耳(1945)將解題歷程分為四個 階段： 1. 了解問題：未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？ 2. 擬定計畫：找出未知數和已知數之間的關係，如果找不著，那就只得考慮一些輔助問題，然後想辦法擬定一個解題的計畫。 3. 執行計畫：依據擬定的計畫，正確地執行及運算每一步驟。 4. 回顧解答：校核所得的解答是否正確。 但實際解題時，並非階段分明地從第一步進行至第四步，即可完成解題。有時進行至第二步時需再折返第二步，同理進行第三步時，也有可能需折返至第二步，甚至第一步。因此，實際解題時，並非一定是依序直線進行的，有時需隨時折返，有時則需繞圈子進行，以達解決問題的最終目的。 舒恩費(1985)除了承續波力耳的解題步驟以及重視各解題步驟的認知歷程之外，他又在其解題歷程模式中提出「後設認知」(metacognition)以及「信念系統」(belief system)的概念。其所揭櫫的數學解題歷程包括： 1. 閱讀(read)：受試者開始閱讀問題。 2. 分析(analysis)：受試者將問題簡化或重述，以便更了解問題。 3. 探索(exploration)：受試者尋找已知條件、未知條件以及問題目標彼此間的關聯性。 4. 計畫(planning)：受試者擬定解題計畫，並檢視計畫是否與問題解決有關，以及評估計畫的適當性。 5. 執行(implement)：執行計畫並檢視是否依計畫執行。 6. 驗證(verify)：受試者檢視解題結果是否合理與正確。 梅伊爾(1992)從認知心理學的觀點，對數學解題歷程及其所涉及的知識做了相當具有結構性的分析，其模式如下圖表所示。 梅氏(1992)以一文字題每邊長30公分的正方形瓷磚，每塊售價0.72元，若要以此瓷磚鋪滿一間長7.2公尺、寬5.4公尺的長方形房間，需要花多少錢為例，分析解題者所需具備的知識應包含：(1)語言知識：例如認字的能力；(2)語意知識：例如1公尺等於100公分、正方形四邊相等；(3)基模知識：例如長方形的面積等於長乘以寬；(4)策略知識：例如先設定子目標，算出房間的面積以及需要多少塊瓷磚；(5)程序性知識：例如能做乘、除法的運算。他更進一步地分析這五種知識可分屬於解題的兩大步驟，及「表徵問題」與「解決問題」。其中「表徵問題」又可分成二個主要成分：「問題的轉譯」與「問題的整合」；而「解決問題」亦可分成「計畫與監控」以及「執行」兩個成分，而「問題的轉譯」需要具備語言的以及語意的知；「問題的整合」需要基模的知識；「計畫與監控」需要策略的知識；「執行」則需程序性知識。 解題者在解題歷程中，若欠缺五種必要知識中的任何一種，很可能就無法成功地解題。茲略舉部分研究結果如下： 1. 語言及語意的知識 研究者發現若解題者對文字題中的句子無法理解或有錯誤的理解時，就會造成解題的困難，尤其是句子是以關係句呈現時特別明顯，例如：「樹上有五隻鳥和三隻蟲，那麼鳥比蟲多幾隻？」研究者更進一步發現，若句子中的「關鍵字」與所需運算的「符號」矛盾時，則難度更為提升，例如：「甲牌的汽油一加侖賣1.13元，它比乙牌的汽油每加侖少0.05元，若要買五加侖乙牌的汽油需要多少錢？」此題需要用到「加法」。 2. 基模的知識 以整數四則運算為例，馬歇爾(Marshall, 1987)即將字題分為下列五種類型： (1)改變型(Change) 小華有20元，買色紙用去10元，還剩幾元？ (2)組合型(Combine) 小華有20元，小明有10元，兩人一共有幾元？ (3)比較型(Compare) 小華有20元，小明有10元，小華比小明多多少元？ (4)重述型(Restate) 小華的錢是小明的兩倍，小華有20元，小明有幾元？ (5)單位型(Unit) 媽媽每天給小華10元零用錢，那麼小華兩天的零用錢有多少元？ 解題者若有分辨題型的能力即具有基模的知識。基模知識是有效表徵問題的核心，若要成為成功的解題者，則發展基模知識是不可少的。不少研究者皆指出：優秀的解題者通常具有較好的題型辨識能力。 3. 策略的知識 舒恩費將一般性的解題策略歸納成五大類：(1)如果問題可以用圖或表來表示的話，僅可能利用畫圖或列表的方式來理解問題；(2)利用歸納法；(3)利用矛盾或歸謬證法；(4)減少變項；(5)建立子目標。解題的策略除了和問題的性質有關之外，他和解題者的能力有關，一般而言，優秀的解題者通常較會選擇有效的解題策略。 4. 程序性知識 指的是計算或運算以及繪圖等技能。目前研究者將計算能力分成不同的精熟程度：例如：以和在20以內的加法為例，席格勒(Siegler, 1987)將計算能力區分成下列不同層次： (1)全部計數 一個數一個數數。 (2)相接計數 加數或被加數中，其中一個數記在腦中，另一個數用手指頭數。 (3)事實衍生 已知5＋5＝10, 6＝1＋5，因此6＋5＝10＋1＝11。 (4)事實已知 5＋6，立即說出11，不必再計算，已經自動化了。 李俊仁（民國81年）將乘法的運算分為：(1)直接提取；(2)序列提取；(3)點數；(4)直接提取－點數；(5)序列提取－點數；(6)直接─序列提取六個層次。 解題的步驟大約可依解題歷程人成分模式來進行，因此，學者們所發展出來的解題教學步驟也大同小異，茲舉數例說明如下： 孟太格和鮑斯(Montague & Bos, 1986)的認知策略教學將解題步驟分為以下八個成分： 1. 唸出問題。 2. 用自己的話，把問題再說一遍。 3. 利用圖示或列表的方式來表徵或展示問題。 4. 綜合1，2，3將問題精確地陳述。 5. 建立假設。 6. 預估。 7. 計算。 8. 自我檢查。 由上述教學步驟，可見他們很重視學生對問題是否真正理解，以及是否有能力將問題正確表徵。 何清森(Hutchinson, 1993)發展出以自我問答式的解題步驟教學如下： 1. 問題表徵的自我問答： (1)我讀完並理解問題中的每一個句子嗎？問題中有哪些字的意義不懂，需要請教別人嗎？ (2)我對問題有整體性的理解嗎？ (3)我能把問題中的目標、未知條件、已知條件、問題類型等式列出來嗎？ (4)我以前做過類似的題目嗎？ 2. 問題解答的自我問答： (1)我能把算式列出來嗎？ (2)我能正確地展開算式嗎？ (3)我計算程序正確嗎？未知數算出來了嗎？答案符合目標的要求嗎？ (4)我以前做過的類似題目也是這樣算的嗎？ |
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| 資料來源： | 國家教育研究院_數學解題歷程的教學 |
| 授權資訊： | 資料採「 創用CC-姓名標示- 禁止改作 臺灣3.0版授權條款」釋出 |